Fonctions Part3 M01

Exercice N°1

Parmi les fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\), lesquelles sont des polynômes de degré 3 ? Justifier.

1) \(f(x) = 2x^3 - \dfrac{3}{7}x^2 + x - 11\)
2) \(g(x) = \dfrac{5}{3}x^4 - 2x^2 + 8\)
3) \(h(x) = (x-4)(x+3)(2x+1)\)
4) \(p(x) = x^2 - 6x + 9\)
5) \(q(t) = -4t^3 + t - 2\)
— Le corrigé —
1) \(f(x) = 2x^3 - \dfrac{3}{7}x^2 + x - 11\)

C'est un polynôme de degré 3. Le coefficient du terme de degré 3 est \(2 \neq 0\), et il n'y a pas de terme de degré strictement supérieur à 3.
2) \(g(x) = \dfrac{5}{3}x^4 - 2x^2 + 8\)

Ce n'est pas un polynôme de degré 3. Il est clairement de degré 4.
3) \(h(x) = (x-4)(x+3)(2x+1)\)

\[(x-4)(x+3) = x^2 - x - 12\] \[(x^2 - x - 12)(2x+1) = 2x^3 + x^2 - 2x^2 - x - 24x - 12 = 2x^3 - x^2 - 25x - 12\] C'est un polynôme de degré 3. Le coefficient du terme en \(x^3\) est \(2 \neq 0\).
4) \(p(x) = x^2 - 6x + 9\)

Ce n'est pas un polynôme de degré 3. Il est clairement de degré 2.
5) \(q(t) = -4t^3 + t - 2\)

C'est un polynôme de degré 3. Le coefficient du terme de degré 3 est \(-4 \neq 0\), et il n'y a pas de terme de degré strictement supérieur à 3.

Exercice N°2

Déterminer une fonction polynôme \(P\) de degré 3 admettant \(-2\), \(1\) et \(5\) pour racines et telle que \(P(3) = 40\).

— Le corrigé —
\(P\) est un polynôme de degré 3 de racines \(-2\), \(1\) et \(5\), donc pour tout réel \(x\) : \[P(x) = a(x+2)(x-1)(x-5) \quad \text{avec } a \in \mathbb{R}\] De plus \(P(3) = 40\), donc : \[a(3+2)(3-1)(3-5) = 40 \iff a \times 5 \times 2 \times (-2) = 40 \iff -20a = 40 \iff a = -2\] Ainsi : \(P(x) = -2(x+2)(x-1)(x-5)\)

Forme développée : \(P(x) = -2x^3 + 8x^2 + 14x - 20\)

Exercice N°3

Déterminer une fonction polynôme \(P\) de degré 3 admettant \(-1\), \(4\) et \(6\) pour racines et telle que \(P(2) = 32\).

— Le corrigé —
\(P\) est un polynôme de degré 3 de racines \(-1\), \(4\) et \(6\), donc pour tout réel \(x\) : \[P(x) = a(x+1)(x-4)(x-6) \quad \text{avec } a \in \mathbb{R}\] De plus \(P(2) = 32\), donc : \[a(2+1)(2-4)(2-6) = 32 \iff a \times 3 \times (-2) \times (-4) = 32 \iff 24a = 32 \iff a = \frac{4}{3}\] Ainsi : \(P(x) = \dfrac{4}{3}(x+1)(x-4)(x-6)\)

Forme développée : \(P(x) = \dfrac{4}{3}x^3 - 12x^2 + \dfrac{104}{3}x + 32\)

Exercice N°4

On considère la fonction \(P\) définie par \(P(x) = x^3 - 3{,}5\,x^2 + ax + b\) où \(a\) et \(b\) sont des réels.

1) Déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\) pour que \(0{,}5\) soit une racine double de \(P\) et que \(2{,}5\) soit également une racine de \(P\).

2) Avec ces valeurs, écrire la forme factorisée de \(P(x)\).

3) Résoudre \(P(x) \leq 0\).

— Le corrigé —
1) \(P\) est de degré 3 avec \(0{,}5\) comme racine double et \(2{,}5\) comme troisième racine. Le coefficient de \(x^3\) dans la forme développée est \(1\), donc : \[P(x) = (x - 0{,}5)^2(x - 2{,}5)\] En développant : \[(x-0{,}5)^2 = x^2 - x + 0{,}25\] \[(x^2 - x + 0{,}25)(x - 2{,}5) = x^3 - 3{,}5\,x^2 + 2{,}75\,x - 0{,}625\] Donc \(a = 2{,}75\) et \(b = -0{,}625\).
2) \(P(x) = (x - 0{,}5)^2(x - 2{,}5)\)
3) Résolution de \(P(x) \leq 0 \iff (x-0{,}5)^2(x-2{,}5) \leq 0\) :

  • \((x-0{,}5)^2 \geq 0\) toujours (nul en \(x = 0{,}5\))
  • \((x-2{,}5) \leq 0 \iff x \leq 2{,}5\)
\(x\)\(-\infty\)\(0{,}5\)\(2{,}5\)\(+\infty\)
\((x-0{,}5)^2\) + 0 + +
\((x-2{,}5)\) − 0 +
\(P(x)\) − 0 − 0 +
L'ensemble des solutions est : \(\left]-\infty\,;\,2{,}5\right]\)
(\(P(x) = 0\) en \(x = 0{,}5\) et \(x = 2{,}5\), ces valeurs sont incluses.)

Exercice N°5

On considère la fonction \(P\) définie par \(P(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + k\) où \(k\) est un nombre réel.

1) Déterminer la valeur du réel \(k\) pour que \(3\) soit une racine de \(P\).

2) Sachant que \(3\) est une racine double de \(P\), factoriser \(P(x)\).

3) Résoudre \(P(x) \geq 0\).

— Le corrigé —
1) Si \(3\) est une racine de \(P\) alors \(P(3) = 0\) : \[P(3) = -3^3 + 6 \times 3^2 - 9 \times 3 + k = 0\] \[-27 + 54 - 27 + k = 0 \iff k = 0\] Ainsi, pour que \(3\) soit une racine de \(P\), il faut (et il suffit) que \(k = 0\).
2) Avec \(k = 0\) : \(P(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x\).

\(P\) est de degré 3 avec \(3\) comme racine double et une troisième racine \(r\). On sait que le coefficient de \(x^3\) dans la forme factorisée est le même que dans la forme développée, soit \(-1\) : \[P(x) = -1 \cdot (x-3)^2(x-r)\] En développant \(-(x-3)^2(x-r)\) et en identifiant avec \(-x^3 + 6x^2 - 9x\) (divisé par \(-1\) : \(x^3 - 6x^2 + 9x\)), le coefficient de \(x^0\) donne \(-9r = 0\), donc \(r = 0\).

Ainsi : \(P(x) = -x(x-3)^2\)
Vérification : \(-x(x^2-6x+9) = -x^3+6x^2-9x\) ✓
3) Résolution de \(P(x) \geq 0 \iff -x(x-3)^2 \geq 0\) :

  • \(-1\) est toujours négatif
  • \((x-3)^2 \geq 0\) toujours (nul en \(x=3\))
  • \(x > 0 \iff x > 0\)
\(x\)\(-\infty\)\(0\)\(3\)\(+\infty\)
\(-1\) −
\((x-3)^2\) + + 0 +
\(x\) − 0 +
\(P(x)\) + 0 − 0 −
L'ensemble des solutions est : \(\left]-\infty\,;\,0\right]\)
(\(P(x) = 0\) en \(x = 0\) et \(x = 3\), mais \(P(x) < 0\) entre \(0\) et \(3\), et pour \(x > 3\).)