Probabilités Conditionnelles M03
Exercice n°1
Gestion d'un magasin d'informatique

Un magasin propose des ordinateurs, du matériel d'impression ou des logiciels. 80 clients ont acheté un seul produit. Voici la répartition :

Paiement \ Produit Impression Logiciels Ordi. Total
Espèces 12 12 0 24
Carte bancaire 36 14 6 56
Total 48 26 6 80
1. Quelle est la probabilité que le client ait payé par carte bancaire ?
2. Le client a acheté du matériel d'impression. Quelle est la probabilité qu'il ait payé par carte ?
VOIR LE CORRIGÉ

1) Probabilité du paiement par carte :
Sur un total de 80 clients, 56 ont payé par carte bancaire.
\( P(CB) = \frac{56}{80} = \mathbf{0,7} \)

2) Probabilité conditionnelle :
On cherche \( P_{I}(CB) \) (Sachant que c'est de l'Impression).
\( P_{I}(CB) = \frac{36}{48} = \mathbf{0,75} \)

Exercice n°2
Loisirs au lycée

On interroge 1500 élèves sur leurs activités culturelles (C) et sportives (S).

Sportif (S) Non Sportif (\(\overline{S}\)) Total
Culturel (C) 402 591 993
Non Cult. (\(\overline{C}\)) 315 192 507
Total 717 783 1500
1. Déterminer la probabilité \( P(C) \).
2. Déterminer la probabilité \( P_{C}(S) \).
VOIR LE CORRIGÉ

1) Calcul de \( P(C) \) :
\( P(C) = \frac{993}{1500} = \mathbf{0,662} \)

2) Calcul de \( P_{C}(S) \) :
Parmi les 993 élèves pratiquant une activité culturelle, 402 font du sport.
\( P_{C}(S) = \frac{402}{993} \approx \mathbf{0,405} \)

Exercice n°3
Santé et prévention

Une enquête sur 10 000 personnes révèle que 9% sont atteintes d'une maladie cardio-vasculaire (M). Parmi elles, 45% pratiquent un sport (S). Chez les non-atteints, 60% sont sportifs.

VOIR LE CORRIGÉ

Tableau des effectifs (pour 10 000 personnes) :

Sportif (S) Non Sportif (\(\overline{S}\)) Total
Malade (M) 405 495 900
Sain (\(\overline{M}\)) 5460 3640 9100
Total 5865 4135 10000

Question : Montrer que \( P(S) = 0,5865 \).

Démonstration :
D'après la formule des probabilités totales :
\( P(S) = P(M \cap S) + P(\overline{M} \cap S) \)
\( P(S) = \frac{405}{10000} + \frac{5460}{10000} = \mathbf{0,5865} \)